آموزش فرمول گرادیان (Gradient) در ریاضی به زبان ساده

در این فیلم آموزشی به تعریف گرادیان به زبان ساده همراه با حل مثال می پردازیم و فرمول محاسبۀ گرادیان را در سه دستگاه معروف دکارتی، استوانه ای و کروی بیان می کنیم.

این مقاله توسط اساتید ریاضی سایت تدریس خصوصی استادلینک نوشته شده است و استفاده از مطالب آن با ذکر نام ( سایت استاد لیتک ) بلامانع می باشد.

دانلود بهترین جزوه الکترومغناطیس

سایت جستجوی استاد خصوصی استادلینک

استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.

همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

فیلم آموزش گرادیان در ریاضی

جهت رزرو استاد خصوصی مورد نظر خود از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

آشنایی با انواع دستگاه های مختصات

در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.

تعریف نماد دل ∇ در ریاضی

نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}$

اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای

نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }$

گرادیان (Geradient) در ریاضیات

گرادیان، یک تابع اسکالر را به یک تابع برداری تبدیل می کند و مفهومی شبیه شیب خط در ریاضی دارد. در ادامه به تعریف گردایان و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.

تعریف گرادیان در ریاضی

برداری را که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضایی افزایش یک کمیت عددی را نمایش می دهد؛ گرادیان آن کمیت عددی می گویند.

$\nabla f=\frac{1}{h_1}.\frac{\partial f}{\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+ \frac{1}{h_2}.\frac{\partial f}{\partial u_2} {\hat{a}}_{u_2}~+ \frac{1}{h_3}.\frac{\partial f}{\partial u_3} {\hat{a}}_{u_3}$

فرمول گردایان در دستگاه مختصات دکارتی

دز مختصات دکارتی با سه کمیت (x,y,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن (h₁=h₂=h₃=1) همگی یک هستند. گرادیان در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}{\hat{a}}_x\mathrm{+} \frac{\partial f}{\partial y} {\hat{a}}_y+\frac{\partial f}{\partial z} {\hat{a}}_z$

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات استوانه ای

در مختصات استوانه ای با سه کمیت (r,φ,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h₁=1 , h₂=r , h₃=1) است. گرادیان در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}{\hat{a}}_r+ \frac{1}{r}\times \frac{\partial f}{\partial \varphi } {\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial f}{\partial z} {\hat{a}}_z$

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات کروی

در مختصات کروی با سه کمیت (R,θ,φ) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h₁=1 , h₂=R , h₃=Rsinθ) است. گرادیان در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial R}{\hat{a}}_R+ \frac{1}{R}\times \frac{\partial f}{\partial \theta } {\hat{a}}_{\theta }+\frac{1}{Rsin(\theta )}\times \frac{\partial f}{\partial \varphi } {\hat{a}}_{\varphi }$

دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک

اگر در زمینه های زیر تخصص و علاقه دارید می توانید با سایت تدریس خصوصی استادلینک همکاری داشته باشید.

تدریس خصوصی دروس مدرسه و دانشگاه
تدریس خصوصی نزم افزارهای تخصصی
مشاوره و برنامه ریزی درسی کنکور کارشناسی، ارشد و دکتری
تولید محتوای آموزشی و فیلم های آموزشی
و …..

برای کسب اطلاعات بیشتر و کسب درآمد بالا از توانایی های بالقوۀ خود در زمینه های آموزشی، واژۀ « همکاری » را به پشتیبانی سایت تدریس خصوصی استادلینک ارسال نمایید.

مقالات مرتبط:

آموزش دیورژانس به زبان ساده

آموزش کرل به زبان ساده

آموزش معادله لاپلاسین در الکترومغناطیس

آموزش تبدیل لاپلاس به زبان ساده

آموزش تبدیل فوریه به زبان ساده

آموزش سری فوریه به زبان ساده

داغ‌ترین مطالب روز

پشت کنکوری ها از کی شروع کنند؟

پشت کنکوری ها از کی شروع کنند تا رتبه برتر سال بعدشون باش؟ در این مقاله به طور مفصل و روش مطالعه هر درس پرداخته ایم.

دانلود سوالات آزمون 16 فروردین 1403 ماز تمامی رشته ها با پاسخنامه و جواب

دانلود رایگان آزمون آزمایشی 16 فروردین 1403 ماز ( بیوماز ) به همراه پاسخنامه تشریحی تمامی رشته ها ( دهم، یازدهم و دوازدهم رشته های ریاضی، تجربی و انسانی ) توجه: گردآوری مطالب این بخش توسط تیم سایت تدریس خصوصی استادلینک انجام شده و استفاده از مطالب آن با ذکر نام منبع ( سایت استاد لینک […]

فرمول اتحاد یک جمله مشترک همراه با مثال و فیلم آموزشی رایگان

یکی از مهم ترین و پرکاربردترین اتحادهای ریاضی، اتحاد یک جمله مشترک است که در سایت استادلینک آموزش ویدیویی استفاده از آن برای شما عزیزان تهیه شده است. استادلینک سایت جستجوی استاد و معلم خصوصی است که شما می توانید با مشاهدۀ رزومه، سوابق، فیلم نمونه تدریس و نظر شاگردان قبلی، استاد درس موردنظرتان را […]