در این فیلم آموزشی به تعریف معادله لاپلاس ( لاپلاسین ) به زبان ساده همراه با حل مثال می پردازیم و فرمول محاسبۀ معادله لاپلاس را در سه دستگاه معروف دکارتی، استوانه ای و کروی بیان می کنیم.
این مقاله توسط اساتید ریاضی سایت تدریس خصوصی استادلینک نوشته شده است و استفاده از مطالب آن با ذکر نام ( سایت استاد لیتک ) بلامانع می باشد.
| دانلود بهترین جزوه الکترومغناطیس |
سایت جستجوی استاد خصوصی استادلینک
استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.
همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.
فیلم آموزش معادله لاپلاس ( لاپلاسین ) در ریاضی
جهت رزرو استاد خصوصی مورد نظر خود از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.
آشنایی با انواع دستگاه های مختصات
در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.
تعریف نماد دل ∇ در ریاضی
نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.
توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.
![\[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c037e22cb981e122e0000c772e2d2f9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی
نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.
![\[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-889f7c294fcd1319f7d95c624d19e9c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای
نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.
![\[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28451a8100c8812a9932b2c3909f9c2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی
نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.
![\[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-089dcc4fb617202e936870773aa945bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
معادله لاپلاسین (Laplacian) در ریاضیات
معادله لاپلاس، یک تابع اسکالر را به یک تابع اسکالر دیگر تبدیل می کند و کاربرد زیادی در مهندسی دارد. در ادامه به تعریف معادله لاپلاس و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.
تعریف معادله لاپلاس ( لاپلاسین ) در ریاضی و الکترومغناطیس
به دیورژانس گرادیان یک تابع اسکالر مانند f، معادله لاپلاس ( لاپلاسین ) آن تابع اسکالر می گویند و با نماد 2f∇ نمایش می دهند که خود نیز یک تابع اسکالر است.
![\[{\nabla }^2f=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}.\frac{\partial f}{\partial u_1}\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\left(\frac{h_1h_3}{h_2}.\frac{\partial f}{\partial u_2}\right)+\frac{\partial }{\partial u_3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}.\frac{\partial f}{\partial u_3}\right)\right]\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b8dfd3b365266c02b374d8e637c537a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
برخی کاربرهای معادله لاپلاس در علوم مهندسی
- معادله ولتاژ الکترواستاتیک: می دانیم بار الکتریکی آزاد در رساناها وجود ندارد پس 2v=0∇ است.
- معادلۀ موج دو بعدی: معادلۀ موج دوبعدی به صورت روبرو تعریف می شود: utt=c2∇2u
- معادلۀ گرمای دو بعدی: معادلۀ گرمای دوبعدی به صورت روبرو تعریف می شود: ut=c2∇2u
فرمول لاپلاسین در دستگاه مختصات دکارتی
دز مختصات دکارتی با سه کمیت (x,y,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن (h1=h2=h3=1) همگی یک هستند. معادله لاپلاس در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.
![\[{\nabla }^2f=\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}\mathrm{+} \frac{{\partial }^2f}{\partial y^2} +\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2506df0e78c940dcf526deac0fc5744_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
فرمول لاپلاسین در دستگاه مختصات استوانه ای
در مختصات استوانه ای با سه کمیت (r,φ,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h1=1 , h2=r , h3=1) است. معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.
![\[{\nabla }^2f=\frac{1}{r}.\frac{\partial }{\partial r}\left(r.\frac{\partial f}{\partial r}\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{r^2}. \frac{{\partial }^2f}{\partial {\varphi }^2} +\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2670f158daa2cedfd2206ea5a0b12819_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
فرمول لاپلاسین در دستگاه مختصات کروی
در مختصات کروی با سه کمیت (R,θ,φ) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h1=1 , h2=R , h3=Rsinθ) است. معادله لاپلاس در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.
![\[{\nabla }^2f=\frac{1}{R^2}.\frac{\partial }{\partial R}\left(R^2.\frac{\partial f}{\partial R}\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{R^2sin\left(\theta \right)}.\frac{\partial }{\partial \theta }\left(sin\left(\theta \right).\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{\mathrm{1}}{R^2sin^2\left(\theta \right)}.\frac{{\partial }^2f}{\partial {\varphi }^2}\]](https://ostadlink.com/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-764f67dcaf15e3576fb1e4bf689dfd32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
معادله پواسون و لاپلاس در الکترومغناطیس
معادله پواسون و لاپلاس در سکل بالا قسمت (لف) بیان شده و همچنین معادله لاپلاس در ریاضیات مهندسی در تمامی دستگاه های مختصات 2 بعدی و 3 بعدی نیز در قسمت (ب) تصویر بالا آورده شده است.
دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک
اگر در زمینه های زیر تخصص و علاقه دارید می توانید با سایت تدریس خصوصی استادلینک همکاری داشته باشید.
- تدریس خصوصی دروس مدرسه و دانشگاه
- تدریس خصوصی نزم افزارهای تخصصی
- مشاوره و برنامه ریزی درسی کنکور کارشناسی، ارشد و دکتری
- تولید محتوای آموزشی و فیلم های آموزشی
- و …..
برای کسب اطلاعات بیشتر و کسب درآمد بالا از توانایی های بالقوۀ خود در زمینه های آموزشی، واژۀ « همکاری » را به پشتیبانی سایت تدریس خصوصی استادلینک ارسال نمایید.
مقالات مرتبط:
آموزش معادله گردایان به زبان ساده
آموزش تبدیل لاپلاس به زبان ساده
آموزش تبدیل فوریه به زبان ساده
2 پاسخ
عالی مختصر و مجمل بود
از اینکه از فایلی که از سایت استادلینک تهیه کرده اید، راضی هستید بی نهایت خرسندیم
لطفا سایت استادلینک را به دوستان خود معرفی نمایید.