کارگاه رایگان آموزشی انتخاب رشته کنکور ۱۴۰۳

آموزش فرمول گرادیان (Gradient) در ریاضی به زبان ساده

آموزش فرمول گرادیان (Gradient) در ریاضی به زبان ساده

آموزش فرمول گرادیان (Gradient) در ریاضی به زبان ساده

در این فیلم آموزشی به تعریف گرادیان به زبان ساده همراه با حل مثال می پردازیم و فرمول محاسبۀ گرادیان را در سه دستگاه معروف دکارتی، استوانه ای و کروی بیان می کنیم.

این مقاله توسط اساتید ریاضی سایت تدریس خصوصی استادلینک نوشته شده است و استفاده از مطالب آن با ذکر نام ( سایت استاد لیتک ) بلامانع می باشد.

دانلود بهترین جزوه الکترومغناطیس

سایت جستجوی استاد خصوصی استادلینک

استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.

همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

فیلم آموزش گرادیان در ریاضی

جهت رزرو استاد خصوصی مورد نظر خود از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

 

آشنایی با انواع دستگاه های مختصات

در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.

انواع دستگاه های مختصات سه بعدی

تعریف نماد دل ∇ در ریاضی

نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

    \[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}\]

اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z\]

اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای

نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z\]

اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }\]

گرادیان (Geradient) در ریاضیات

گرادیان، یک تابع اسکالر را به یک تابع برداری تبدیل می کند و مفهومی شبیه شیب خط در ریاضی دارد. در ادامه به تعریف گردایان و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.

تعریف گرادیان در ریاضی

تعریف گردایان در ریاضی - فرمول گردایان در مختصات کلی

برداری را که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضایی افزایش یک کمیت عددی را نمایش می دهد؛ گرادیان آن کمیت عددی می گویند.

    \[\nabla f=\frac{1}{h_1}.\frac{\partial f}{\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+ \frac{1}{h_2}.\frac{\partial f}{\partial u_2} {\hat{a}}_{u_2}~+ \frac{1}{h_3}.\frac{\partial f}{\partial u_3} {\hat{a}}_{u_3}\]

فرمول گردایان در دستگاه مختصات دکارتی

فرمول گردایان در دستگاه مختصات دکارتی

دز مختصات دکارتی با سه کمیت (x,y,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن (h1=h2=h3=1) همگی یک هستند. گرادیان در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}{\hat{a}}_x\mathrm{+} \frac{\partial f}{\partial y} {\hat{a}}_y+\frac{\partial f}{\partial z} {\hat{a}}_z\]

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات استوانه ای

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات استوانه ای

در مختصات استوانه ای با سه کمیت (r,φ,z) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h1=1 , h2=r , h3=1) است. گرادیان در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}{\hat{a}}_r+ \frac{1}{r}\times \frac{\partial f}{\partial \varphi } {\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial f}{\partial z} {\hat{a}}_z\]

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات کروی

فرمول گرادیان در دستگاه مختصات کروی

در مختصات کروی با سه کمیت (R,θ,φ) سروکار داریم و ضرائب متری (Metric Coefficient) در آن به صورت (h1=1 , h2=R , h3=Rsinθ) است. گرادیان در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.

    \[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial R}{\hat{a}}_R+ \frac{1}{R}\times \frac{\partial f}{\partial \theta } {\hat{a}}_{\theta }+\frac{1}{Rsin(\theta )}\times \frac{\partial f}{\partial \varphi } {\hat{a}}_{\varphi }\]

دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک

دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک

اگر در زمینه های زیر تخصص و علاقه دارید می توانید با سایت تدریس خصوصی استادلینک همکاری داشته باشید.

  • تدریس خصوصی دروس مدرسه و دانشگاه
  • تدریس خصوصی نزم افزارهای تخصصی
  • مشاوره و برنامه ریزی درسی کنکور کارشناسی، ارشد و دکتری
  • تولید محتوای آموزشی و فیلم های آموزشی
  • و …..

برای کسب اطلاعات بیشتر و کسب درآمد بالا از توانایی های بالقوۀ خود در زمینه های آموزشی، واژۀ « همکاری » را به پشتیبانی سایت تدریس خصوصی استادلینک ارسال نمایید.

مقالات مرتبط:

آموزش دیورژانس به زبان ساده

آموزش کرل به زبان ساده

آموزش معادله لاپلاسین در الکترومغناطیس

آموزش تبدیل لاپلاس به زبان ساده

آموزش تبدیل فوریه به زبان ساده

آموزش سری فوریه به زبان ساده

داغ‌ترین مطالب روز

جدیدترین مطالب

دیدگاه ها و انجمن پرسش و پاسخ

درج نظر یا ایجاد یک مسئله جدید ؟

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

 اشتراک گذاری این مقاله

این مقاله را برای شخص دیگری به اشتراک بگذارید