آموزش فرمول کرل (Curl) در ریاضی به زبان ساده

آموزش دروس دانشگاهی
در آبان 1402
مطالعه 3 دقیقه

آموزش فرمول کرل (Curl) در ریاضی به زبان ساده

در این فیلم آموزشی به تعریف کرل به زبان ساده همراه با حل مثال می پردازیم و فرمول محاسبۀ کرل را در سه دستگاه معروف دکارتی، استوانه ای و کروی بیان می کنیم.

این مقاله توسط اساتید ریاضی سایت تدریس خصوصی استادلینک نوشته شده است و استفاده از مطالب آن با ذکر نام ( سایت استاد لیتک ) بلامانع می باشد.

دانلود بهترین جزوه الکترومغناطیس

سایت جستجوی استاد خصوصی استادلینک

استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.

همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

فیلم آموزش فرمول کرل در ریاضی

جهت رزرو استاد خصوصی مورد نظر خود از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

آشنایی با انواع دستگاه های مختصات

در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.

تعریف نماد دل ∇ در ریاضی

نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}$

اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای

نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }$

کرل (Curl) در ریاضیات

کرل، یک تابع برداری را به یک تابع برداری دیگر تبدیل می کند و مفهومی شبیه چرخش و پیچش در یک سطح را دارد. در ادامه به تعریف کرل و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.

تعریف کرل در ریاضی

کرل، برداری است که اندازۀ آن حداکثر گردش خالص بردار f در واحد سطح است به طوری که سطح به سوی صفر میل می کند و جهت آن جهت عمودی سطح است زمانی که سطح طوری جهت داده شده باشد که گردش خالص را حداکثر نماید.

$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{f}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left| \begin{array}{ccc} {h_1\hat{a}}_{u_1} & {h_2\hat{a}}_{u_2} & {h_3\hat{a}}_{u_3} \\ \frac{\partial }{\partial u_1} & \frac{\partial }{\partial u_2} & \frac{\partial }{\partial u_3} \\ h_1f_1 & h_2f_2 & h_33 \end{array} \right|$

فرمول کرل در دستگاه مختصات دکارتی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات دکارتی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات دکارتی (h₁=h₂=h₃=1) همگی یک هستند. کرل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{f}=\left| \begin{array}{ccc} {\hat{a}}_x & {\hat{a}}_y & {\hat{a}}_z \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ f_1 & f_2 & f_3 \end{array} \right|$

فرمول کرل در دستگاه مختصات استوانه ای

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات استوانه ای است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات استوانه ای به صورت (h₁=1 , h₂=r , h₃=1) می باشد. کرل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{f}=\frac{1}{r}.\left| \begin{array}{ccc} {\hat{a}}_r & r.{\hat{a}}_{\varphi } & {\hat{a}}_z \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \varphi } & \frac{\partial }{\partial z} \\ f_1 & {r.f}_2 & f_3 \end{array} \right|$

فرمول کرل در دستگاه مختصات کروی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات کروی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات کروی به صورت
(h₁=1 , h₂=R , h₃=Rsinθ) است. کرل در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{f}=\frac{1}{R^2.sin\left(\theta \right)}.\left| \begin{array}{ccc} {\hat{a}}_r & R.{\hat{a}}_{\theta } & {Rsin\left(\theta \right).\hat{a}}_{\varphi } \\ \frac{\partial }{\partial R} & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial \varphi } \\ f_1 & {R.f}_2 & Rsin\left(\theta \right).f_3 \end{array} \right|$

قضیه استوکس در ریاضی و الکترومغناطیس

در بخش پیشین کرل یک تابع برداری را به صورت انتگرال خظی مسیر بسته در واحد سطح بیان کردیم. اثبات می شود که انتگرال سطحی کرل یک میدان برداری، روی یک سطح باز برابر انتگرال خطی بستۀ بردار روی مسیری است که سطح را دربر می گیرد. یعنی:

$\mathop{\int\!\!\!\!\int}\nolimits^{\ }_{\ s\ }{\left(\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{f}\right).d\overrightarrow{s}=\oint^{\ }_{\ c\ }{\overrightarrow{f}}.d\overrightarrow{l}}$

دو اتحاد صفر در الکترومغناطیس

دو اتحاد عملیات مکرر del در مطالعۀ الکترومغناطیس اهمیت قابل ملاحظه ای دارند که به صورت زیر بیان می شوند:

اتحاد (1) صفر در الکترومغناطیس

کرل گرادیان هر میدان عددی، متحد با صفر است. یعنی:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\right)=0$

اتحاد (2) صفر در الکترومغناطیس

دیورژانس کرل هر میدان برداری، متحد با صفر است. یعنی:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{f}\right)=0$

دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک

اگر در زمینه های زیر تخصص و علاقه دارید می توانید با سایت تدریس خصوصی استادلینک همکاری داشته باشید.

تدریس خصوصی دروس مدرسه و دانشگاه
تدریس خصوصی نزم افزارهای تخصصی
مشاوره و برنامه ریزی درسی کنکور کارشناسی، ارشد و دکتری
تولید محتوای آموزشی و فیلم های آموزشی
و …..

برای کسب اطلاعات بیشتر و کسب درآمد بالا از توانایی های بالقوۀ خود در زمینه های آموزشی، واژۀ « همکاری » را به پشتیبانی سایت تدریس خصوصی استادلینک ارسال نمایید.