آموزش فرمول دیورژانس (Divergence) در ریاضی به زبان ساده

آموزش دروس دانشگاهی
در آذر 1402
مطالعه 3 دقیقه

آموزش فرمول دیورژانس (Divergence) در ریاضی به زبان ساده

در این فیلم آموزشی به تعریف دیورژانس به زبان ساده همراه با حل مثال می پردازیم و فرمول محاسبۀ دیورژانس را در سه دستگاه معروف دکارتی، استوانه ای و کروی بیان می کنیم.

این مقاله توسط اساتید ریاضی سایت تدریس خصوصی استادلینک نوشته شده است و استفاده از مطالب آن با ذکر نام ( سایت استاد لیتک ) بلامانع می باشد.

دانلود جزوه کامل دیورژانس

سایت جستجوی استاد خصوصی استادلینک

استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.

همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

فیلم آموزش دیورژانس در ریاضی

جهت رزرو استاد خصوصی مورد نظر خود از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

آشنایی با انواع دستگاه های مختصات

در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.

تعریف نماد دل ∇ در ریاضی

نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}$

اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای

نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }$

دیورژانس (Divergence) در ریاضیات

دیورژانس، یک تابع برداری را به یک تابع اسکالر تبدیل می کند و مفهومی شبیه شار عبوری از یک سطح را دارد. در ادامه به تعریف دیورژانس و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.

تعریف دیورژانس در ریاضی

دیورژانس میدان برداری f در یک نقطه را به صورت شار خالص خروجی f در واحد حجم، وقتی که این حجم حول نقطه به سمت صفر میل می کند، تعریف می کنیم.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}\left(h_2h_3f_1\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\left(h_1h_3f_2\right)+\frac{\partial }{\partial u_3}\left(h_1h_2f_3\right)\right]$

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات دکارتی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات دکارتی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات دکارتی (h₁=h₂=h₃=1) همگی یک هستند. دیورژانس در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x}\mathrm{+} \frac{\partial f_2}{\partial y} +\frac{\partial f_3}{\partial z}$

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات استوانه ای

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات استوانه ای است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات استوانه ای به صورت (h₁=1 , h₂=r , h₃=1) می باشد. دیورژانس در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{1}{r}.\frac{\partial }{\partial r}\left(r.f_1\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{r}. \frac{\partial f_2}{\partial \varphi } +\frac{\partial f_3}{\partial z}$

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات کروی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات کروی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات کروی به صورت
(h₁=1 , h₂=R , h₃=Rsinθ) است. دیورژانس در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{1}{R^2}.\frac{\partial }{\partial R}\left(R^2.f_1\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{Rsin\left(\theta \right)}. \frac{\partial }{\partial \theta }(sin\left(\theta \right).f_2) +\frac{1}{Rsin\left(\theta \right)}.\frac{\partial f_3}{\partial \varphi }$

قضیه دیورژانس در ریاضی

در بخش پیشین دیورژانس یک میدان برداری را به صورت شار خالص خروجی در واحد حجم تعریف کردیم. اثبات می شود که انتگرال حجمی دیورژانس یک میدان برداری با شار کل خروجی بردار از سطح دربرگیرندۀ حجم برابر باشد یعنی:

$\oint^{\ \ }_{\ s\ }{\ \overrightarrow{f}.d\overrightarrow{s}=\ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\nolimits^{\ \ }_{\ v\ }{\left(\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}\right)dv}}$

دعوت به همکاری در سایت تدریس خصوصی استادلینک

اگر در زمینه های زیر تخصص و علاقه دارید می توانید با سایت تدریس خصوصی استادلینک همکاری داشته باشید.

تدریس خصوصی دروس مدرسه و دانشگاه
تدریس خصوصی نزم افزارهای تخصصی
مشاوره و برنامه ریزی درسی کنکور کارشناسی، ارشد و دکتری
تولید محتوای آموزشی و فیلم های آموزشی
و …..

برای کسب اطلاعات بیشتر و کسب درآمد بالا از توانایی های بالقوۀ خود در زمینه های آموزشی، واژۀ « همکاری » را به پشتیبانی سایت تدریس خصوصی استادلینک ارسال نمایید.