آموزش فرمول دیورژانس (Divergence) در ریاضی به زبان ساده

استادلینک، جامع ترین سایت جستجوی استاد خصوصی در سراسر کشور می باشد که با مراجعه به صفحه اصلی سایت استادلینک می توانید لیست بهترین اساتید دانشگاهی را به همراه رزومه، فیلم نمونه تدریس، نظر شاگردان قبلی، اطلاعات تماس مدرس و … مشاهده کرده و در صورت لزوم با آنها مستقیم ارتباط بگیرید.

همچنین می توانید برای مشورت در زمینۀ رزرو بهترین استاد خصوصی با توجه به شرایطتان و مشورت در مورد کنکور کارشناسی ارشد و کنکور دکتری، از طریق پشتیبانی سایت استادلینک اقدام نمایید.

آنچه در این مقاله می‌خوانید

بهترین استاد ریاضیات و الکترومغناطیس اصفهان

برای رزرو کلاس های خصوصی آنلاین و حضوری ریاضیات و الکترومغناطیس مهندس امید نجفی پور می توانید با شماره 09130394201 آکادمی نجفی تماس حاصل نمایید.

مرکز مشاوره درسی تحصیلی آکادمی نجفی

گروه آموزشی و مشاوره و برنامه ریزی تحصیلی و درسی

شماره تماس : 09130394201

تماس

نظرات دانش آموزان

مشاهده نظرات

آدرس: فلکه احمدآباد – خیابان جی – نرسیده به چهارراه پروین – کوچه ظفر (21)

آشنایی با انواع دستگاه های مختصات

در تصویر زیر با سه دشتگاه معروف مختصات یعتی دستگاه دکارتی، دستگاه مختصات استوانه ای و دستگاه مختصات کروی آشنا می شوید.

تعریف نماد دل ∇ در ریاضی

نماد ∇ را در ریاضی نماد دل – Del ( برعکس علامت دلتا Δ ) می شناسند و به آن نابلا ( Nabla ) نیز می گویند. در مختصات دلخواه تعریف نماد دل به صورت زیر است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{h_1.\partial u_1}{\hat{a}}_{u_1}+\frac{\partial }{h_2.\partial u_2}{\hat{a}}_{u_2}+\frac{\partial }{h_3.\partial u_3}{\hat{a}}_{u_3}$

اپراتور دل در دستگاه مختصات دکارتی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial x}{\hat{a}}_x+\frac{\partial }{\partial y}{\hat{a}}_y+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات استوانه ای

نماد دل در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial r}{\hat{a}}_r+\frac{\partial }{r.\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{\hat{a}}_z$

اپراتور دل در دستگاه مختصات کروی

نماد دل در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\frac{\partial }{\partial R}{\hat{a}}_R+\frac{\partial }{R.\partial \theta }{\hat{a}}_{\theta }+\frac{\partial }{Rsin(\theta ).\partial \varphi }{\hat{a}}_{\varphi }$

ارتباط با ما

از طریق راه های ارتباطی زیر می‌توانید با آکادمی نجفی در ارتباط باشید.

فرمول دیورژانس (Divergence) در ریاضیات

دیورژانس، یک تابع برداری را به یک تابع اسکالر تبدیل می کند و مفهومی شبیه شار عبوری از یک سطح را دارد. در ادامه به تعریف دیورژانس و فرمول آن در مختصات کلی، مختصات دکارتی، مختصات استوانه ای و مختصات کروی می پردازیم.

تعریف دیورژانس در ریاضی

دیورژانس میدان برداری f در یک نقطه را به صورت شار خالص خروجی f در واحد حجم، وقتی که این حجم حول نقطه به سمت صفر میل می کند، تعریف می کنیم.

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات دکارتی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات دکارتی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات دکارتی (h₁=h₂=h₃=1) همگی یک هستند. دیورژانس در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x}\mathrm{+} \frac{\partial f_2}{\partial y} +\frac{\partial f_3}{\partial z}$

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات استوانه ای

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات استوانه ای است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات استوانه ای به صورت (h₁=1 , h₂=r , h₃=1) می باشد. دیورژانس در مختصات استوانه ای به صورت زیر تعریف می شود.

$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}=\frac{1}{r}.\frac{\partial }{\partial r}\left(r.f_1\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{r}. \frac{\partial f_2}{\partial \varphi } +\frac{\partial f_3}{\partial z}$

فرمول دیورژانس در دستگاه مختصات کروی

تابع f=(f1,f2,f3) یک تابع برداری در مختصات کروی است. می دانیم ضرائب متری (Metric Coefficient) در مختصات کروی به صورت
(h₁=1 , h₂=R , h₃=Rsinθ) است. دیورژانس در مختصات کروی به صورت زیر تعریف می شود.

قضیه دیورژانس در ریاضی

در بخش پیشین دیورژانس یک میدان برداری را به صورت شار خالص خروجی در واحد حجم تعریف کردیم. اثبات می شود که انتگرال حجمی دیورژانس یک میدان برداری با شار کل خروجی بردار از سطح دربرگیرندۀ حجم برابر باشد یعنی:

$\oint^{\ \ }_{\ s\ }{\ \overrightarrow{f}.d\overrightarrow{s}=\ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\nolimits^{\ \ }_{\ v\ }{\left(\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{f}\right)dv}}$

“The divergence theorem is an important result for the mathematics of physics and engineering, particularly in electrostatics and fluid dynamics. In these fields, it is usually applied in three dimensions.”

«قضیهٔ دیورژانس یک نتیجهٔ مهم در ریاضیاتِ فیزیک و مهندسی است، به‌ویژه در الکترواستاتیک و دینامیک سیالات. در این حوزه‌ها، معمولاً در فضای سه‌بعدی به کار برده می‌شود.»

منبع: ویکی پدیا