آموزش جامع انتگرال جز به جز | فرمول انتگرال بازگشتی

آموزش دروس دانشگاهی
در مرداد 1403
مطالعه 3 دقیقه

آموزش جامع انتگرال جز به جز | فرمول انتگرال بازگشتی

آموزش جامع انتگرال جز به جز، حل مثال از انواع انتگرال جز به جز و دانلود جزوه کامل انتگرال جز به جز از سایت تدریس خصوصی استادلینک، همگی در این مقاله آموزشی

استادلینک؛ جامع ترین وبسایت جستجوی معلم خصوصی و استاد خصوصی در سراسر کشور بوده که با مراجعه به صفحۀ اول سایت استادلینک، می توانید لیست بهترین اساتید رشته های مختلف را مشاهده کنید.

همچنین برای رزرو استاد خصوصی درس مورد نظر خود می توانید از طریق پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک اقدام نمایید.

دانلود جزوه کامل انتگرال و تمامی جدول ها و فرمول های انتگرال گیری

قواعد دیفرانسیل ها

قبل از خواندن این مقاله، حتماً مقالۀ « آموزش جامع انتگرال انواع توابع » را مطالعه بفرمایید.

قواعد دیفرانسیل ها دقیقاً مشابه قواعد مشتق ها است.

توجه: اگر از تلفن همراه استفاده می نمایید، آن را در حالت روشن (light) و در وضعیت افقی قرار داده تا فرمول ها برای شما به درستی به نمایش در آید.

$d\left(u\pm v\right)=du\pm dv$

$d\left(u.v\right)=u.dv+v.du$

$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v.du-u.dv}{v^2}$

« برای مشاهده و دانلود تمامی قواعد و فرمول های مشتق، اینجا ضربه بزنید. »

به عنوان مثال داریم:

$d\left(u^{n\ }\right)=n.u^{n-1}.du$

$d\left({\mathrm{sin} \left(u\right)\ }\right)={\mathrm{cos} \left(u\right)\ }du$

$d\left({\mathrm{cos} \left(u\right)\ }\right)=-{\mathrm{sin} \left(u\right)\ }du$

آموزش انتگرال جز به جز نوع اول

همانطور که می دانید، به جز انتگرال های توابع گفته شده در مقالۀ « آموزش جامع انتگرال انواع توابع »، روش و قاعدۀ کلی برای انتگرال گرفتن از سایر فرمول ها وجود ندارد.

در انتگرال هایی که در آنها Ln یا tan^-1 یا sin^-1 ( در کل توابع معکوس مثلثاتی و ال ان و … ) وجود داشته باشد و نتوان آنها را با تغییر متغیر حل کرد، به احتمال زیاد، این انتگرال ها به کمک انتگرال جز به جز نوع اول قابل حل هستند.

فلسفه انتگرال جز به جز نوع اول:

می دانیم دیفرانسیل ضرب دو تابع به صورت زیر تعریف می شود:

$d\left(u.v\right)=u.dv+v.du$

این عبارت را می توان به صورت زیر باز نویسی کرد:

$u.dv=d\left(uv\right)-v.du$

همانطور که می دانید، انتگرال و دیفرانسل ضد هم هستند و اگر مستقیم و بدون هیچ واسطه ای، علامت انتگرال و علامت دیفرانسیل به هم برخورد کنند، همدیگر را خنثی می کنند یعنی:

$\int{d\left(u.v\right)=u.v}$

حال اگر از طرفین رابطۀ بازنویسی شده انتگرال بگیریم داریم:

$\int{u.dv=u.v-\int{v.du}}$

رابطۀ بالا فرمول اصلی انتگرال جزء به جزء نوع اول است. چون گاهی از مواقع نمی توان انتگرال u.dv را مستقیم محاسبه کرد، پس به کمک رابطۀ بالا انتگرال v.du را محاسبه می کنیم.

چند مثال از انتگرال جز به جز نوع اول

در این نوع از انتگرال ها انتخاب قسمت u و قسمت dv مهم است. به طور کلی u قسمتی است که انتگرال آن را نمی دانیم ولی مشتق آن را می دانیم و dv مابقی قسمت انتگرل ما است. به چند مثال زیر دقت کنید.