آموزش جامع تبدیل لاپلاس و تابع گاما | دانلود کاملترین جزوه تبدیل لاپلاس

آموزش دروس دانشگاهی
در مهر 1402
مطالعه 3 دقیقه

آموزش جامع تبدیل لاپلاس و تابع گاما | دانلود کاملترین جزوه تبدیل لاپلاس

در این مقاله قسط داریم که آموزش جامع تبدیل لاپلاس و تابع گاما از سری مباحث مهم درس معادلات دیفرانسیل را به شما عزیزان توسط اساتید ریاضی سایت استادلینک آموزش دهیم.

استادلینک؛ جامع ترین وبسایت جستجوی معلم و استاد خصوصی در سراسر کشور است که می توانید رزومۀ بهترین اساتید را در آن مشاهده نمایید. در ادامه با آموزش جامع تبدیل لاپلاس و تابع گاما همراه خواهید بود و جزوۀ کامل تبدیل لاپلاس قابل دانلود می باشد.

دانلود جزوه کامل تبدیل لاپلاس و تابع گاما

تعریف تبدیل لاپلاس یکطرفه

تبدیلات ریاضی برای این به وجود آمده اند، که عملیات های پیچیده را ساده تر کنند. تبدیل لاپلاس هم یکی از انواع تبدیل های ریاضی مانند تبدیل فوریه، تبدیل z و … می باشد.

این تبدیل ها از جمله لاپلاس، در مهندسی گوناگونی مانند رشتۀ برق، برای حل معادلات دیفرانسیل به کار می آیند. در قسمت زیر فرمول تبدیل لاپلاس یکطرفه را مشاهده می کنید.

که داریم:

شرط همگرایی تبدیل لاپلاس یک طرفه این است که قسمت حقیقی s، مثبت باشد یعنی:

فرمول های کامل تبدیل لاپلاس

در تصویر زیر، تمامی روابط مهم در تبدیل لاپلاس، بنمایش داده شده است.

جهت رزرو استاد خصوصی درس معادلات دیفرانسیل به پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک پیام دهید.

1- خاصیت خطی بودن

این خاصیت جمع پذیری و همگن بودن لاپلاس را بیان می کند.

2- تغییر مقیاس زمانی

اگر زمان در عددی ضرب شود، s و مقدار کلی تابع تبدیل لاپلاس در معکوس آن عدد ضرب می شود.

3- قضیه اول انتقال

تابع نمایی باعث انتقال در حوزۀ لاپلاس می شود.

4- قضیه دوم انتقال

منظور از u_a(t) همان تابع پله یا هویساید ( heavy-side ) می باشد که باعث تاخیر در مقدار دهی به تابع f(t) می شود. این عمل باعث میشود که در حوزۀ لاپلاس تابع نمایی ایجاد شود که در درس کنترل خطی بسیار حائز اهمیت است.

${\boldsymbol{u}}_{\boldsymbol{a}}\left(\boldsymbol{t}\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{u}\boldsymbol{(}\boldsymbol{t}\boldsymbol{-}\boldsymbol{a}\boldsymbol{)}$

5- مشتق در حوزۀ زمان

اپراتور s در حوزۀ لاپلاس به معنای مشتق مرتبۀ اول در حوزۀ زمان است. همچنین sⁿ به معنای مشتق مرتبۀ n اُم در حوزۀ زمان است. همچنین f(0) و f'(0) و ….. شرایط اولیه در حوزۀ زمان می باشد.

6- مشتق در حوزه لاپلاس

ضرب t در حوزۀ زمان باعث ایجاد مشتق در حوزۀ لاپلاس می شود.

7- انتگرال در حوزۀ زمان

همانطور که گفته شد s در حوزۀ لاپلاس به معنای مشتق در حوزۀ زمان می باشد. همانطور که می دانیم مشتق و انتگرال دو عملیات معکوس هم هستند. پس معکوس s به معنای انتگرال در حوزۀ زمان می باشد.

8- انتگرال در حوزۀ لاپلاس

همانطور که ضرب t در تابع در حوزۀ زمان، باعث مشتق در حوزۀ لاپلاس می شود، تقسیم t نیر در حوزۀ زمان، باعث ایجاد انتگرال در حوزۀ لاپلاس می شود.

9- کانولوشن یا ضرب پیچشی

تعریف کانولوشن یا ضرب پیچشی را در ادامه خواهید دید که یک عملیات پیچیده در ریاضی محسوب می شود. این عملیات پیچیده توسط لاپلاس به یک عملیات سادۀ ضرب تبدیل می شود.

در مهندسی برق، در سیستم های LTI ( خطی تغییر ناپذیر با زمان )، خروجی از کانولوشن ورودی و تابع انتقال بدست می آید که با استفاده از تبدیل لاپلاس، به عملیات سادۀ ضرب تبدیل می شود.

10- ضرب در حوزۀ زمان

طبق خاصیت دوگانگی (Duality) که در ادامه به آن میپردازیم، ضرب دو تابع در حوزۀ زمان، باعث ایجاد کانولوشن در حوزۀ لاپلاس می شود.

11- لاپلاس تابع متناوب

برای تابع متناوب f(t) با دورۀ تناوب T داریم:

12- قضیه مقدار اولیه

اگر مقدار اولیه تابع f(t) در حوزه زمان در t=0 احتیاج باشد ولی F(s) موجود باشد، از رابطۀ زیر استفاده می کنیم.

13- قضیه مقدار نهایی

اگر تابع F(s) پایدار و دارای قطب منفی باشد، می توان از رابطۀ زیر مقدار نهایی تابع را در زمان بی نهایت در حوزۀ زمان بدست آورد.

14- مزدوج

مزدوج یک تابع در حوزۀ زمان باعث مزدوج شدن اپراتور s و کل جواب در حوزۀ لاپلاس می شود.

تبدیل لاپلاس توابع خاص

در قسمت قبل، با خواص لاپلاس در حالت های گوناگون قرار گرفتن تابع f(t) آشنا شدید. در این قسمت، لاپلاس توابع خواص که حتماً باید آنها را به خاطر بسپارید، برای شما آمده است.

جهت رزرو استاد خصوصی درس معادلات دیفرانسیل به پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک پیام دهید.

معرفی تابع پله، ضربه و توابع هذلولوی

1- تابع پله

تابع پله، به ازای مقادیر مثبت و صفر داخل آن، برابر یک و به ازای مقادیر منفی داخل آن، برابر صفر است. نمودارو روابط تابع پله به صورت زیر می باشد.

2- تابع ضربه

تابع ضربه (impulse)، مشتق تابع پله است که در مهندسی های گوناگون از جمله مهندسی برق، بسیار کاربرد دارد.

3- توابع هذلولوی (Hyperbolic)

تابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک به صورت زیر تعریف می شود:

ضرب پیچشی یا کانولوشن

برای دو تابع f(t) و g(t)، کانولوشن یا ضرب پیچشی به صورت زیر تعریف می شود.

$f\left(t\right)*g\left(t\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(k\right).g\left(t-k\right)dk}$

اگر دو تابع f(t) و g(t) برای زمانهای مثبت تعریف شده باشند داریم:

$f\left(t\right)*g\left(t\right)=\int^t_0{f\left(k\right).g\left(t-k\right)dk}$

خواص کانولوشن

برای ضرب پیچشی یا کانولوشن می توان خواص زیر را تعیین کرد.

تابع گاما

این تابع به صورت زیر تعریف می شود:

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{m}\boldsymbol{+}\boldsymbol{1}\right)\boldsymbol{=}\int^{\boldsymbol{m}}_{\boldsymbol{0}}{{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{m}}.{\boldsymbol{e}}^{\boldsymbol{-}\boldsymbol{t}}\boldsymbol{dt}}$

قواعد تابع گاما

جهت رزرو استاد خصوصی درس معادلات دیفرانسیل به پشتیبانی واتساپ سایت استادلینک پیام دهید.

1- برای هر عدد حقیقی m داریم:

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{m}\boldsymbol{+}\boldsymbol{1}\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{m}.\boldsymbol{\mu }\boldsymbol{(}\boldsymbol{m}\boldsymbol{)}$

2- برای عدد طبیعی n رابطۀ بالا به صورت زیر اصلاح می شود: ( فاکتوریل اعداد کسری و منفی را می توان به کمک این تابع بدست آورد )

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{+}\boldsymbol{1}\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{n}\boldsymbol{!}~~~\boldsymbol{(}\boldsymbol{n}\boldsymbol{\in }\mathbb{N}\mathrm{)}$

3- رابطۀ زیر قابل اثبات است:

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{m}\right).\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{1}\boldsymbol{-}\boldsymbol{m}\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{\pi }}{\boldsymbol{sin}\boldsymbol{(}\boldsymbol{\pi }\boldsymbol{m}\boldsymbol{)}}$

4- برای هر عدد طبیعی n داریم:

$\boldsymbol{\mu }\left(\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\right)\boldsymbol{=}\sqrt{\boldsymbol{\pi }}$

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{+}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{3}\boldsymbol{\times \dots \times (}\boldsymbol{2}\boldsymbol{n}\boldsymbol{-}\boldsymbol{1}\boldsymbol{)}}{{\boldsymbol{2}}^{\boldsymbol{n}}}\boldsymbol{\times }\sqrt{\boldsymbol{\pi }}$

$\boldsymbol{\mu }\left(\boldsymbol{-}\boldsymbol{n}\boldsymbol{+}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\right)\boldsymbol{=}\frac{{\left(\boldsymbol{-}\boldsymbol{2}\right)}^{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\times }\sqrt{\boldsymbol{\pi }}}{\boldsymbol{1}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{3}\boldsymbol{\times \dots \times (}\boldsymbol{2}\boldsymbol{n}\boldsymbol{-}\boldsymbol{1}\boldsymbol{)}}$

چند رابطۀ مهم

1- تبدیل ضرب به جمع توابع مثلثاتی

$\boldsymbol{sin}\left(\boldsymbol{\alpha }\right).\boldsymbol{cos}\left(\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\left[\boldsymbol{sin}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{-}\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{sin}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{+}\boldsymbol{\beta }\right)\right]$

$\boldsymbol{cos}\boldsymbol{(}\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{)}.\boldsymbol{cos}\left(\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\left[\boldsymbol{cos}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{-}\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{c}\boldsymbol{os}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{+}\boldsymbol{\beta }\right)\right]$

$\boldsymbol{sin}\boldsymbol{(}\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{)}.\boldsymbol{sin}\left(\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\left[\boldsymbol{cos}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{-}\boldsymbol{\beta }\right)\boldsymbol{-}\boldsymbol{c}\boldsymbol{os}\left(\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{+}\boldsymbol{\beta }\right)\right]$

2- رابطۀ طلایی در مثلثات

${\boldsymbol{cos}}^{\boldsymbol{2}}\left(\boldsymbol{\alpha }\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{+}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{cos}\boldsymbol{(}\boldsymbol{2}\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{)}$

${\boldsymbol{sin}}^{\boldsymbol{2}}\left(\boldsymbol{\alpha }\right)\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{cos}\boldsymbol{(}\boldsymbol{2}\boldsymbol{\alpha }\boldsymbol{)}$